Otimizaçãoé o processo matemático de encontrar a "melhor" solução — minimizando ou maximizando uma função objetivo — dentro de uma região viável definida, sujeita a regras específicas.
Métodos Clássicos vs. Métodos Inteligentes
- Método de Newton-Raphson: Uma abordagem iterativa para encontrar raízes que utiliza derivadas de segunda ordem (Hessiana).
- Descida do Gradiente: Um método de primeira ordem que se move em direção ao mínimo local seguindo o gradiente negativo.
- Algoritmos Evolutivos (AEs): Métodos de busca estocásticos baseados em população, inspirados na seleção natural biológica.
Conceitos Críticos
É essencial distinguir entre o Vetor de Decisão (as variáveis que alteramos) e o Função Objetivo (a métrica de sucesso).
Armadilhas de Codificação
Cuidado com o Gradiente Desvanecido em métodos baseados em cálculo e Aclives de Hamming em AEs codificados em binário. Um simples incremento decimal (por exemplo, de 7 para 8) pode exigir a inversão de todos os bits (de 0111 para 1000), criando um "aclive" que dificulta a eficiência da busca. Use Codificação de Gray para mitigar esse problema.
Implementação em Python: Descida do Gradiente
Questão 1
Por que um problema de otimização convexa é considerado "mais fácil" do que um não convexo?
Questão 2
No contexto dos Algoritmos Evolutivos, o que representa o "fenótipo"?
Estudo de Caso: Maximização da Área de um Triângulo
Leia o cenário abaixo e responda às perguntas de formulação.
Considere o problema de maximizar a área de um triângulo retângulo onde o comprimento da hipotenusa $c$ é fixo.
Q
1. Identifique as variáveis de decisão e a função objetivo.
Resposta:
Variáveis: Os comprimentos dos dois lados, $a$ e $b$.
Função Objetivo: Maximizar $Área = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.
Variáveis: Os comprimentos dos dois lados, $a$ e $b$.
Função Objetivo: Maximizar $Área = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.
Q
2. Enuncie a restrição com base nas propriedades geométricas.
Resposta:
Com base no teorema de Pitágoras, a restrição é: $a^2 + b^2 = c^2$.
Com base no teorema de Pitágoras, a restrição é: $a^2 + b^2 = c^2$.
Q
3. Se usar o método de Newton-Raphson, qual matriz deve ser calculada para levar em conta as derivadas parciais de segunda ordem?
Resposta:
A Matriz Hessiana ($H$), que contém todas as derivadas parciais de segunda ordem da função objetivo.
A Matriz Hessiana ($H$), que contém todas as derivadas parciais de segunda ordem da função objetivo.